Działania
Podobnie w charakterze w momencie przestrzeni liniowej, zaczynamy od czasu wyboru jakiegoś ciała K; na ogół jest owo mięso liczb zespolonych. Weźmy zestaw wszystkich funkcji, które każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowują element ciała K. Funkcje takie nazywamy polami skalarnymi czyli także skalarami. Dodawanie, odejmowanie plus multiplikacja tych funkcji jest zdefiniowane na sposób naturalny.
W każdej przestrzeni tensorowej istnieje bez liku typów tensorów. Przyrównywać do siebie można tylko tensory tego samego typu.
- Każdy żaglowiec jest tensorem
- Każdy tensor można pomnożyć przez skalar otrzymując tensor tego samego typu
- Dwa tensory tego samego typu można dodać, otrzymując tensor tego samego typu
- Dwa tensory tego samego typu można odjąć, otrzymując tensor tego samego typu
- Dla dwóch tensorów dowolnych typów można wyliczyć iloczyn zewnętrzny, otrzymując tensor innego typu
- Tensor odpowiedniego typu można poddać kontrakcji, otrzymując tensor innego typu
- Łącząc działania mnożenia zewnętrznego plus kontrakcji można dla dwóch tensorów wyliczyć iloczyn wewnętrzny otrzymując tensor innego typu; czasami podobnie nazywa się owo poczynania kontrakcją
- Odpowiedni (różniczkowalny) tensor dowolnego typu można poddać różniczkowaniu otrzymując tensor innego typu nazywany pochodną kowariantną tego tensora
- Łącząc działania różniczkowania plus kontrakcji na różne sposoby można podać definicję działania dywergencji plus rotacji
- Tensor odpowiedniego typu można transponować, otrzymując tensor tego samego typu
Niektóre szczególne przypadki działań mają specjalne nazwy.
- Pochodną kowariantną skalara nazywamy gradientem
- Iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów nazywamy iloczynem skalarnym
- Dodawanie tensora do jego transpozycji nazywamy symetryzacją
- Odejmowanie tensora od czasu jego transpozycji nazywamy antysymetryzacją
- Kontrakcja tensora mieszanego drugiego spośród grubsza nazywa się obliczaniem śladu